Часть 1: Объяснение основ линейной алгебры: системы линейных уравнений и матрицы
Введение
Линейная алгебра имеет решающее значение во многих областях науки и техники в целом. Он занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, уравнения обычно используются для моделирования реальных задач, а задачи с несколькими переменными можно моделировать с помощью систем уравнений. И даже системы нелинейных уравнений могут быть преобразованы в системы линейных уравнений. Таким образом, знание того, как решать эти системы линейных уравнений, может быть очень полезным в любой области современной науки. И как специалисту по данным, также необходимо хорошо понимать линейную алгебру, чтобы работать с большинством методов машинного обучения, особенно с алгоритмами глубокого обучения.
Линейное уравнение
- Линейное уравнение — это уравнение, в котором старшая степень переменной всегда равна 1.
Линейная система
- Система линейных уравнений – это ряд линейных уравнений.
Вышеупомянутая система линейных уравнений может быть переписана в форме матрицы, называемой расширенной матрицей. Матрица m x n представляет собой массив чисел с m строками и n столбцами, где m > 1 и n > 1. Каждое число в матрице называется элементом.
Однородные линейные системы
- Линейная система называется однородной, если все постоянные члены bᵢ равны нулю.
- xᵢ = 0 называется тривиальным решением однородной системы.
- Однородная система с большим количеством неизвестных, чем уравнений (n > m), имеет бесконечно много решений.
Возможные решения линейной системы
Возможны 3 случая решения линейных систем:
- Нулевое решение
- Одно решение
- Бесконечно много решений
Линейная система, не имеющая решения, называется несовместимой. Если существует хотя бы одно решение, оно называется непротиворечивым.
Шаги для решения системы линейных уравнений с использованием элементарных операций со строками
Сокращение строк
Редукция строк — это алгоритм решения систем линейных уравнений. Сокращение строк в матрице выполняется с помощью последовательности элементарных операций над строками для изменения матрицы до тех пор, пока нижний левый угол матрицы не будет заполнен нулями. [1] Существует 3 типа операций со строками:
- Перестановка — уравнение заменяется другим, меняются местами 2 строки.
- Масштабирование — обе части уравнения умножаются на ненулевую константу, умножение строки на ненулевую константу.
- Сводка — уравнение заменяется суммой самого себя и кратного другого уравнения, добавляя кратное одной строки к другой строке.
Форма эшелона рядов
Система находится в ступенчатой форме, если
- Это в виде лестницы
- Ведущая запись (первая запись с ненулевым коэффициентом) в строке находится справа от лидирующей записи в строке над ней
- Все ведущие записи 1
Процесс, который создает матрицу в ступенчатой форме, называется исключением Гаусса.
Уменьшенная форма эшелона
Система находится в редуцированной ступенчатой форме, если
- Начальная запись в каждой ненулевой строке равна 1.
- Все остальные записи столбца, в котором встречается ведущая запись 1, являются нулями.
Процесс, который создает матрицу в уменьшенной ступенчатой форме, называется исключением Гаусса-Жордана.
В эшелонированной форме первая переменная с ненулевым коэффициентом – это основные переменные/ведущие переменные. Не ведущие переменные являются свободными переменными.
Пример
Решите приведенную ниже систему уравнений:
Сначала преобразуйте систему линейных уравнений в расширенную матрицу, а затем выполните ряд элементарных операций со строками, чтобы решить ее в форме эшелона строк.
Краткое содержание
В этом посте вы узнали об основах линейной алгебры, системах линейных уравнений и матрицах. Вы узнали, что представляют собой линейные уравнения и линейные системы, и 3 возможных решения линейной системы. Кроме того, вы узнали, как решать линейные уравнения, применяя последовательности операций над строками, чтобы преобразовать матрицы либо в эшелонированную, либо в редуцированную эшелонированную форму. Кроме того, вы также узнаете, какие пакеты программирования можно использовать для решения систем линейных уравнений.
Рекомендуемое чтение
Рекомендации
[1] Исключение Гаусса — Википедия
[2] Глава 2 Матрицы и векторы | MATH0007: Алгебра для отличников. (н.д.). Получено 2 января 2023 г. с https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/0007/_book/2-linalg1.html.
